Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




22.09.2021


21.09.2021


21.09.2021


21.09.2021


20.09.2021


19.09.2021





Яндекс.Метрика

Теорема Мюнтца — Саса

27.07.2021

Теорема Мюнтца — Саса — утверждение о достаточном условии равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции степенными полиномами и достаточном условии её невозможности. Была доказана Мюнтцем в 1914 г. и Сасом в 1916 г. Играет важную роль в функциональном анализе.

Равномерная аппроксимация функции

Говорят, что функцию f ( x ) {displaystyle f(x)} можно равномерно аппроксимировать полиномами a k x λ k {displaystyle a_{k}x^{lambda _{k}}} на интервале ( a , b ) {displaystyle (a,b)} с точностью ϵ {displaystyle epsilon } , если max a ⩽ x ⩽ b | f ( x ) − ∑ 1 n a k x λ k | < ϵ {displaystyle max _{aleqslant xleqslant b}left|f(x)-sum _{1}^{n}a_{k}x^{lambda _{k}} ight|<epsilon } .

Формулировка

Пусть λ n {displaystyle lambda _{n}} - множество комплексных чисел с положительной вещественной частью. Произвольную непрерывную функцию можно равномерно аппроксимировать на интервале ( 0 , 1 ) {displaystyle (0,1)} полиномами C + ∑ a n x n λ {displaystyle C+sum a_{n}x_{n}^{lambda }} , если

∑ n = 1 ∞ R e λ n 1 + | λ n 2 | = ∞ {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {Relambda _{n}}{1+|lambda _{n}^{2}|}}=infty } .

Такая аппроксимация всякой непрерывной функции невозможна, если

∑ n = 1 ∞ 1 + R e λ n 1 + | λ n 2 | < ∞ {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1+Relambda _{n}}{1+|lambda _{n}^{2}|}}<infty } .