ГлавнаяЭргодичность — специальное свойство некоторых динамических систем, состоящее в том, что в процессе эволюции почти каждое состояние с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы.
Для эргодических систем математическое ожидание по временным рядам должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам. То есть для определения параметров системы можно долго наблюдать за поведением одного её элемента, а можно за очень короткое время рассмотреть все её элементы (или достаточно много элементов). Если система обладает свойством эргодичности, то в обоих случаях получатся одинаковые результаты.
Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. Например, температура газа — это мера средней энергии молекулы. Предварительно необходимо доказать эргодичность данной системы.
Эргодическая теория — один из разделов общей динамики.
Определение
Пусть ( X , Σ , μ ) {displaystyle (X,;Sigma ,;mu ,)} есть вероятностное пространство и T : X → X {displaystyle T:X o X} — отображение, сохраняющее меру.
Отображение T эргодично по отношению к μ {displaystyle mu } , если выполнено следующее условие:
для любого T-инвариантного подмножества E ∈ Σ {displaystyle Ein Sigma } (то есть такого, что T − 1 ( E ) = E {displaystyle T^{-1}(E)=E} ) либо μ ( E ) = 0 {displaystyle mu (E)=0} , либо μ ( E ) = 1 {displaystyle mu (E)=1} .
Замечания
Определение эквивалентно следующим условиям,
- Для любого подмножества E ∈ Σ {displaystyle Ein Sigma } положительной меры имеем μ ( ⋃ n = 1 ∞ T − n E ) = 1 {displaystyle mu left(igcup _{n=1}^{infty }T^{-n}E ight)=1} ;
- Для любых двух множеств E и H положительной меры существует n > 0 такое, что *: μ ( ( T − n E ) ∩ H ) > 0 {displaystyle mu ((T^{-n}E)cap H)>0} ;
- Любая T-инвариантная измеримая функция f : X → R {displaystyle f:X o mathbb {R} } почти везде постоянна.