Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер



















Яндекс.Метрика

Билинейная форма

Пусть L {displaystyle L} есть векторное пространство над полем K {displaystyle K} (чаще всего рассматриваются поля K = R {displaystyle K=mathbb {R} } или K = C {displaystyle K=mathbb {C} } ).

Билинейной формой называется функция F : L × L → K {displaystyle Fcolon L imes L o K} , линейная по каждому из аргументов:

F ( x + z , y ) = F ( x , y ) + F ( z , y ) {displaystyle F(x+z,,y)=F(x,,y)+F(z,,y)} , F ( x , y + z ) = F ( x , y ) + F ( x , z ) {displaystyle F(x,,y+z)=F(x,,y)+F(x,,z)} , F ( λ x , y ) = λ F ( x , y ) {displaystyle F(lambda x,,y)=lambda F(x,,y)} , F ( x , λ y ) = λ F ( x , y ) {displaystyle F(x,,lambda y)=lambda F(x,,y)} ,

здесь x , y , z ∈ L {displaystyle x,y,zin L} и λ ∈ K . {displaystyle lambda in K.}

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)).

Альтернативное определение

В случае конечномерных пространств (например, R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} ) чаще используется другое определение.

Пусть L {displaystyle L} есть множество векторов вида x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) , {displaystyle x=(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}),} где x i ∈ K , i = 1 , n ¯ {displaystyle x_{i}in K,i={overline {1,n}}} .

Билинейными формами называются функции F : L × L → K {displaystyle Fcolon L imes L o K} вида

F ( x , y ) = ∑ i , j = 1 n a i j x i y j , {displaystyle F(x,y)=sum _{i,,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j},}

где x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) , {displaystyle x=(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}),} y = ( y 1 , y 2 , … , y n ) , {displaystyle y=(y_{1},y_{2},dots ,y_{n}),} а a i j {displaystyle a_{ij}} — некоторые константы из поля K . {displaystyle K.}

Говоря другими словами, билинейная форма — это функция от двух групп по n {displaystyle n} переменных, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных из каждой группы.

Связанные определения

  • Билинейная форма F {displaystyle F} называется симметричной, если F ( x , y ) = F ( y , x ) {displaystyle F(x,,y)=F(y,,x)} для любых векторов x , y ∈ L {displaystyle x,yin L} .
  • Билинейная форма F {displaystyle F} называется кососимметричной (антисимметричной), если F ( x , y ) = − F ( y , x ) {displaystyle F(x,,y)=-F(y,,x)} для любых векторов x , y ∈ L {displaystyle x,yin L} .
  • Вектор x ∈ L {displaystyle xin L} называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству M ⊂ L {displaystyle Msubset L} относительно F {displaystyle F} , если F ( x , y ) = 0 {displaystyle F(x,,y)=0} для всех y ∈ M {displaystyle yin M} . Совокупность векторов x ∈ L {displaystyle xin L} , ортогональных подпространству M ⊂ L {displaystyle Msubset L} относительно данной билинейной формы F {displaystyle F} , называется ортогональным дополнением подпространства M ⊂ L {displaystyle Msubset L} относительно F {displaystyle F} и обозначается M ⊥ {displaystyle M^{perp }} .
  • Радикалом билинейной формы F {displaystyle F} называется ортогональное дополнение самого пространства L {displaystyle L} относительно F {displaystyle F} , то есть совокупность L ⊥ {displaystyle L^{perp }} векторов x ∈ L {displaystyle xin L} , для которых F ( x , y ) = 0 {displaystyle F(x,,y)=0} при всех y ∈ L {displaystyle yin L} .

Свойства

  • Множество всех билинейных форм W ( L , L ) {displaystyle W(L,L)} , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
  • Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
  • При выбранном базисе e 1 , … , e n {displaystyle e_{1},ldots ,e_{n}} в L {displaystyle L} любая билинейная форма F {displaystyle F} однозначно определяется матрицей
( F ( e 1 , e 1 ) F ( e 1 , e 2 ) … F ( e 1 , e n ) F ( e 2 , e 1 ) F ( e 2 , e 2 ) … F ( e 2 , e n ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ F ( e n , e 1 ) F ( e n , e 2 ) … F ( e n , e n ) ) , {displaystyle {egin{pmatrix}F(e_{1},,e_{1})&F(e_{1},,e_{2})&ldots &F(e_{1},,e_{n})F(e_{2},,e_{1})&F(e_{2},,e_{2})&ldots &F(e_{2},,e_{n})vdots &vdots &ddots &vdots F(e_{n},,e_{1})&F(e_{n},,e_{2})&ldots &F(e_{n},,e_{n})end{pmatrix}},}

так что для любых векторов x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n {displaystyle x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+cdots +x^{n}e_{n}} и y = y 1 e 1 + y 2 e 2 + ⋯ + y n e n {displaystyle y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+cdots +y^{n}e_{n}}

F ( x , y ) = ( x 1 x 2 … x n ) ( F ( e 1 , e 1 ) F ( e 1 , e 2 ) … F ( e 1 , e n ) F ( e 2 , e 1 ) F ( e 2 , e 2 ) … F ( e 2 , e n ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ F ( e n , e 1 ) F ( e n , e 2 ) … F ( e n , e n ) ) ( y 1 y 2 ⋮ y n ) , {displaystyle F(x,,y)={egin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&ldots &x^{n}end{pmatrix}}{egin{pmatrix}F(e_{1},,e_{1})&F(e_{1},,e_{2})&ldots &F(e_{1},,e_{n})F(e_{2},,e_{1})&F(e_{2},,e_{2})&ldots &F(e_{2},,e_{n})vdots &vdots &ddots &vdots F(e_{n},,e_{1})&F(e_{n},,e_{2})&ldots &F(e_{n},,e_{n})end{pmatrix}}{egin{pmatrix}y^{1}y^{2}vdots y^{n}end{pmatrix}},}

то есть

F ( x , y ) = ∑ i , j = 1 n f i j x i y j ,   f i j = F ( e i , e j ) . {displaystyle F(x,,y)=sum _{i,j=1}^{n}f_{ij},x^{i}y^{j}, quad f_{ij}=F(e_{i},,e_{j}).}
  • Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
  • Размерность пространства W ( L , L ) {displaystyle W(L,L)} есть dim ⁡ W ( L , L ) = ( dim ⁡ L ) 2 {displaystyle dim W(L,L)=(dim L)^{2}} .
  • Несмотря на то, что матрица билинейной формы F {displaystyle F} зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы F {displaystyle F} . Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен dim ⁡ L {displaystyle dim L} .
  • Для любого подпространства M ⊂ L {displaystyle Msubset L} ортогональное дополнение M ⊥ {displaystyle M^{perp }} является подпространством M ⊥ ⊂ L {displaystyle M^{perp }subset L} .
  • dim ⁡ L ⊥ = dim ⁡ L − r {displaystyle dim L^{perp }=dim L-r} , где r {displaystyle r} — ранг билинейной формы F {displaystyle F} .

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе X i {displaystyle X^{i}} выражаются через координаты в новом x i {displaystyle x^{i}} через матрицу β {displaystyle eta } X i = ∑ β j i x j {displaystyle X^{i}=sum eta _{j}^{i}x^{j}} , или в матричной записи X = β x {displaystyle X=eta x} , то билинейная форма F {displaystyle F} на любых векторах x {displaystyle x} и y {displaystyle y} запишется, как

F ( x , y ) = ∑ i , j F i j X i Y j = ∑ i , j , k , m F i j β k i β m j x k y m {displaystyle F(x,,y)=sum _{i,j}F_{ij}X^{i}Y^{j}=sum _{i,j,k,m}F_{ij}eta _{k}^{i}eta _{m}^{j}x^{k}y^{m}} ,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

f k m = ∑ i , j F i j β k i β m j {displaystyle f_{km}=sum _{i,j}F_{ij}eta _{k}^{i}eta _{m}^{j}} ,

или, в матричной записи:

f = β T F β {displaystyle f=eta ^{T}Feta } , β = α − 1 {displaystyle eta =alpha ^{-1}} , где α {displaystyle alpha } — матрица прямого преобразования координат x = α X {displaystyle x=alpha X} .

Связь с тензорными произведениями и функтором Hom

Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством Hom ( V ⊗ V , k ) {displaystyle { ext{Hom}}(Votimes V,k)} , где k — основное поле.

Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряженными, Hom ( V ⊗ V , k ) ≅ Hom ( V , Hom ( V , k ) ) {displaystyle { ext{Hom}}(Votimes V,k)cong { ext{Hom}}(V,{ ext{Hom}}(V,k))} , то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из V {displaystyle V} в двойственное пространство V ∗ {displaystyle V^{*}} . Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как

B 1 ( v ) = B ( v , ⋅ ) {displaystyle B_{1}({mathsf {v}})=B({mathsf {v}},cdot )}

B 2 ( v ) = B ( ⋅ , v ) {displaystyle B_{2}({mathsf {v}})=B(cdot ,{mathsf {v}})} .