Задача трёх тел

Задача трёх тел в астрономии — одна из задач небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В отличие от задачи двух тел, в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известны лишь отдельные точные решения для специальных начальных скоростей и координат объектов.

Математическая формулировка

Общая задача трёх тел в небесной механике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

q ¨ 1 = γ m 2 q 2 − q 1 | q 2 − q 1 | 3 + γ m 3 q 3 − q 1 | q 3 − q 1 | 3 q ¨ 2 = γ m 1 q 1 − q 2 | q 1 − q 2 | 3 + γ m 3 q 3 − q 2 | q 3 − q 2 | 3 q ¨ 3 = γ m 1 q 1 − q 3 | q 1 − q 3 | 3 + γ m 2 q 2 − q 3 | q 2 − q 3 | 3 } {displaystyle left.{egin{array}{c}{ddot {oldsymbol {q}}}_{1}=gamma m_{2}{dfrac {{oldsymbol {q}}_{2}-{oldsymbol {q}}_{1}}{|{oldsymbol {q}}_{2}-{oldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}+gamma m_{3}{dfrac {{oldsymbol {q}}_{3}-{oldsymbol {q}}_{1}}{|{oldsymbol {q}}_{3}-{oldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}{ddot {oldsymbol {q}}}_{2}=gamma m_{1}{dfrac {{oldsymbol {q}}_{1}-{oldsymbol {q}}_{2}}{|{oldsymbol {q}}_{1}-{oldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}+gamma m_{3}{dfrac {{oldsymbol {q}}_{3}-{oldsymbol {q}}_{2}}{|{oldsymbol {q}}_{3}-{oldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}{ddot {oldsymbol {q}}}_{3}=gamma m_{1}{dfrac {{oldsymbol {q}}_{1}-{oldsymbol {q}}_{3}}{|{oldsymbol {q}}_{1}-{oldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}+gamma m_{2}{dfrac {{oldsymbol {q}}_{2}-{oldsymbol {q}}_{3}}{|{oldsymbol {q}}_{2}-{oldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}end{array}}quad ight}}

где γ {displaystyle gamma } — гравитационная постоянная, m i {displaystyle m_{i}} — массы тел, q i {displaystyle {oldsymbol {q}}_{i}} — радиус-векторы, определяющие их положение, а точка означает производную по времени.

Частные решения

На данный момент[уточнить] известно как минимум 21 частное решение:

Первые три решения были найдены Эйлером в 1767 году. Они существуют, когда все три тела находятся на одной прямой. В этом случае имеют место 3 возможных последовательности расположения (третье тело находится между двумя другими, либо слева или справа от обоих). Такое движение называется коллинеарным.
Ещё два решения нашёл в 1772 году Лагранж. В них треугольник, образованный телами, сохраняется равносторонним, вращаясь в пространстве либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.
В 1892—1899 годах Анри Пуанкаре доказал, что существует бесконечно много частных решений задачи трёх тел.
В 1911 году У. Д. Макмиллан открыл новое частное решение, но без четкого математического обоснования, лишь в 1961 году советский математик К. А. Ситников смог найти строгое математическое доказательство для этого случая (см. Проблема Ситникова).
В середине 1970-х было открыто еще одно семейство орбит Бруке-Хено-Хаджидеметриу.
В 1993 ещё одно решение, имеющее вид стабильных орбит-«восьмерок» нашёл Мур.

В 2013 году сербские учёные Милован Шуваков и Велько Дмитрашинович из Института физики в Белграде нашли 13 новых частных решений для задачи трёх тел, при которых движение системы из трёх одинаковых по массе объектов будет происходить в повторяющемся цикле.
В 2018 году математик Ляо Шицзюнь и его коллеги из Шанхайского университета транспорта использовали суперкомпьютер, чтобы вычислить 234 новых частных решения для задачи трёх тел без коллизий.

Общий случай

Относительно общего случая Вейерштрасс предложил такую задачу (1885 г., конкурс на премию шведского короля Оскара II):

Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении, что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной.

Приближённое решение

По всей видимости, сам Вейерштрасс, опираясь на свою знаменитую теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами, желал получить выражение для координат тел в виде

lim n → ∞ P n ( t ) {displaystyle lim limits _{n ightarrow infty }P_{n}(t)} ,

где P n {displaystyle P_{n}} — некоторые полиномы.

Существование таких полиномов сразу следует из непрерывности решения, но найти конструктивный способ отыскания полиномов до сих пор не удалось.

Обсуждение самой возможности ситуации, описанной в задаче Вейерштрасса, привело к ряду важных выводов:

Если решение задачи трёх тел является голоморфной функцией t {displaystyle t} в интервале [ 0 , t 0 ) {displaystyle [0,t_{0})} и перестает быть таковым при t = t 0 {displaystyle t=t_{0}} , то при t → t 0 − 0 {displaystyle t ightarrow t_{0}-0} или все расстояния между телами стремятся к нулю (тройное соударение тел), или одно из них стремится к нулю, а остальные два — к конечным пределам (простое соударение тел). (Пенлеве, 1897);
Тройное соударение в задаче трёх тел возможно лишь при условии обращения в нуль момента импульса системы и, следовательно, может иметь место лишь при весьма специальных начальных данных. (Ф. А. Слудский, 1874);
Если момент импульса системы не равен нулю, то существует так называемый регуляризирующий параметр s {displaystyle s} , через который можно выразить координаты и время голоморфным образом в окрестности вещественной оси s {displaystyle s} . (Зундман, 1912; короткое доказательство дал в 1967 г. Бурде (Burdet)).

Это подтолкнуло Пуанкаре и Зундмана искать решение не в виде функций от t {displaystyle t} , а в виде рядов от некоторого параметра. Именно, координаты трёх тел и время являются голоморфными функциями s {displaystyle s} вдоль всей вещественной оси плоскости s {displaystyle s} , то есть существует некоторая область, в которой координаты голоморфны. По теореме Римана эту область можно отобразить на круг единичного радиуса | v | < 1 {displaystyle |v|<1} , поэтому координаты трёх тел и время можно представить в виде функций параметра v {displaystyle v} , голоморфных в круге единичного радиуса. Такие функции представимы в виде сходящегося во всем круге рядов по положительным степеням v {displaystyle v} . Эти ряды были найдены Зундманом в 1912, точнее говоря, был найден алгоритм отыскания их коэффициентов. К несчастью, как показал Д. Белорицкий, по крайней мере в случае Лагранжа для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Зундмана нужно брать как минимум 10 8 ⋅ 10 6 {displaystyle 10^{8cdot 10^{6}}} членов.

Точное решение

Брунс и Пуанкаре доказали, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой, разложив её на независимые уравнения. Открытие показало, что динамические системы не изоморфны. Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно.