Теорема Пуассона

Теорема Пуассона — теорема в теории вероятностей.

Формулировка

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где p n {displaystyle p_{n}} — вероятность «успеха», μ n {displaystyle mu _{n}} — количество «успехов».

Тогда если

lim n → ∞ n p n = λ ; {displaystyle lim _{n o infty }np_{n}=lambda ;}

λ > 0 , {displaystyle lambda >0,}

то lim n → ∞ P ( ω : μ n ( ω ) = m ) = e − λ λ m m ! . {displaystyle lim _{n o infty }P(omega :mu _{n}(omega )=m)=e^{-lambda }{cfrac {lambda ^{m}}{m!}}.}

Доказательство

Используя формулу Бернулли, получим, что

lim n → ∞ P ( ω : μ n ( ω ) = m ) = C n m ( p n ) m ( 1 − p n ) n − m = n ! m ! ( n − m ) ! ( λ n + o ( λ n ) ) m ( 1 − λ n − o ( λ n ) ) n − m = {displaystyle lim _{n o infty }P(omega :mu _{n}(omega )=m)=C_{n}^{m}(p_{n})^{m}(1-p_{n})^{n-m}={cfrac {n!}{m!(n-m)!}}{igg (}{cfrac {lambda }{n}}+o{igg (}{cfrac {lambda }{n}}{igg )}{igg )}^{m}{igg (}1-{cfrac {lambda }{n}}-o{igg (}{cfrac {lambda }{n}}{igg )}{igg )}^{n-m}=} = 1 m ! ( n − m + 1 ) ( n − m + 2 ) … n n m ( λ + o ( λ ) ) m ( 1 − λ n − o ( λ n ) ) n − m , {displaystyle ={cfrac {1}{m!}}{cfrac {(n-m+1)(n-m+2)ldots n}{n^{m}}}{igg (}lambda +o{igg (}lambda {igg )}{igg )}^{m}{igg (}1-{cfrac {lambda }{n}}-o{igg (}{cfrac {lambda }{n}}{igg )}{igg )}^{n-m},} так как lim n → ∞ n p n = λ ⇔ p n = λ n + o ( λ n ) {displaystyle lim _{n o infty }np_{n}=lambda ;Leftrightarrow ;p_{n}={cfrac {lambda }{n}}+o{igg (}{cfrac {lambda }{n}}{igg )}} при lim n → ∞ o ( λ n ) λ n = 0. {displaystyle lim _{n o infty }{cfrac {o{igg (}{cfrac {lambda }{n}}{igg )}}{cfrac {lambda }{n}}}=0.}

Но так как

lim n → ∞ ( n − m + 1 ) ( n − m + 2 ) … n n m = ( lim n → ∞ ( n − m + 1 ) n ) ⋅ ( lim n → ∞ ( n − m + 2 ) n ) ⋅ … ⋅ ( lim n → ∞ ( n ) n ) = 1 ; {displaystyle lim _{n o infty }{cfrac {(n-m+1)(n-m+2)ldots n}{n^{m}}}={igg (}lim _{n o infty }{cfrac {(n-m+1)}{n}}{igg )}cdot {igg (}lim _{n o infty }{cfrac {(n-m+2)}{n}}{igg )}cdot ldots cdot {igg (}lim _{n o infty }{cfrac {(n)}{n}}{igg )}=1;}

lim n → ∞ ( λ + o ( λ ) ) m = λ m ; {displaystyle lim _{n o infty }(lambda +o(lambda ))^{m}=lambda ^{m};}

lim n → ∞ ( 1 − λ n − o ( λ n ) ) n − m = e − λ , {displaystyle lim _{n o infty }{igg (}1-{cfrac {lambda }{n}}-o{igg (}{cfrac {lambda }{n}}{igg )}{igg )}^{n-m}=e^{-lambda },}

то полученное равенство превращается в lim n → ∞ P ( ω : μ n ( ω ) = m ) = e − λ λ m m ! . {displaystyle lim _{n o infty }P(omega :mu _{n}(omega )=m)=e^{-lambda }{cfrac {lambda ^{m}}{m!}}.} Q.E.D.