Сетка Вульфа

Сетка Вульфа в кристаллографии — стереографическая экваториальная проекция градусной сетки сферы из расположенного на её экваторе центра проекции, осуществляемая на плоскость меридиана, удалённого на 90° от выбранного центра. Данный меридиан называется основным меридианом сетки. Меридианы и параллели сетки Вульфа играют вспомогательную роль как проекции дуг больших и малых кругов сферы. Точки схождения меридианов называются полюсами сетки; отрезок прямой, соединяющей полюса сетки, называется осью сетки; отрезок прямой, равноудалённый от полюсов и перпендикулярный оси, называется экватором сетки.

Все построения и преобразования с использованием сетки Вульфа проводятся на кальке, на которую переносят центр сетки, её основной меридиан, ось и экватор, а также наносят точки, сферические координаты которых требуется преобразовать. Повороты кальки делаются с сохранением центровки относительно сетки.

Сетку Вульфа обычно строят с шагом координат в 2°.

Метод изобретён кристаллографом Георгием Вульфом.

Примеры применения

Сетка Вульфа позволяет графически, без дополнительных расчётов решать многие задачи геометрической кристаллографии, связанные с угловыми характеристиками кристаллов, а так же навигационные и астрометрические задачи.

С помощью сетки Вульфа строится стереографическая экваториальная проекция точки, заданной своими сферическими координатами ϕ {displaystyle phi } 1 и ρ {displaystyle ho } 1. Поворотом кальки вокруг центра сетки на требуемый угол с учётом его знака получают результирующие координаты точки ϕ {displaystyle phi } 2 и ρ {displaystyle ho } 2 на сетке. В зависимости от класса решаемых задач координаты точек на сетке могут быть заданы различным образом.

В кристаллографии принят следующий порядок указания координат: углы 0 ∘ ≤ ϕ < 360 ∘ {displaystyle 0^{circ }leq phi <360^{circ }} отсчитываются по окружности сетки Вульфа, положительное направление по часовой стрелке, начиная от правого конца её экватора; углы 0 ∘ ≤ ρ ≤ 180 ∘ {displaystyle 0^{circ }leq ho leq 180^{circ }} — вдоль оси и экватора, от центра сетки, при этом диапазон 90 ∘ < ρ ≤ 180 ∘ {displaystyle 90^{circ }< ho leq 180^{circ }} соответствует проекциям точек, лежащих под плоскостью основного меридиана. Центр сетки соответствует координатам ρ = 0 ∘ {displaystyle ho =0^{circ }} и ρ = 180 ∘ {displaystyle ho =180^{circ }} ; правый конец экватора - ρ = 90 ∘ , ϕ = 0 ∘ {displaystyle ho =90^{circ },phi =0^{circ }} ; левый конец экватора - ρ = 90 ∘ , ϕ = 180 ∘ {displaystyle ho =90^{circ },phi =180^{circ }} ; "верхний" полюс - ρ = 90 ∘ , ϕ = 270 ∘ {displaystyle ho =90^{circ },phi =270^{circ }} ; "нижний" полюс - ρ = 90 ∘ , ϕ = 90 ∘ {displaystyle ho =90^{circ },phi =90^{circ }} .

В геодезическом, навигационном или астрографическом применении сетки принят такой порядок указания координат: углы − 90 ∘ ≤ ϕ ≤ + 90 ∘ {displaystyle -90^{circ }leq phi leq +90^{circ }} , соответствующие широте, склонению или высоте над горизонтом, отсчитываются по окружности сетки Вульфа, положительное направление по часовой стрелке, начиная от левого конца её экватора; углы 0 ∘ ≤ λ < 360 ∘ {displaystyle 0^{circ }leq lambda <360^{circ }} , соответствующие долготе, прямому восхождению или часовому углу — вдоль экватора сетки от правого его конца. Положения точек с координатами λ > 180 ∘ {displaystyle lambda >180^{circ }} находятся по правилу 360 ∘ − λ {displaystyle 360^{circ }-lambda } . Центр сетки имеет координаты λ = 90 ∘ {displaystyle lambda =90^{circ }} и λ = 270 ∘ {displaystyle lambda =270^{circ }} .

В контексте решений навигационных задач сетка может представлять требуемую систему сферических координат, например, экваториальную, тогда северный полюс отображается на верхний полюс сетки, южный полюс - на нижний полюс сетки, небесный экватор - на экватор сетки; меридиан наблюдателя совпадает с основным меридианом сетки. Зенит и надир находятся в точках, соответствующих географической широте местоположения наблюдателя: в точках ( ϕ , λ = 180 ∘ ) {displaystyle (phi ,lambda =180^{circ })} и ( − ϕ , λ = 0 ∘ ) {displaystyle (-phi ,lambda =0^{circ })} соответственно. В этом случае вдоль основного меридиана отсчитываются склонения светил, в вдоль экватора сетки - часовые углы.

При использовании горизонтальной системы координат - зенит и надир находятся в соответствующих полюсах сетки, экватор сетки соответствует истинному горизонту наблюдателя. Меридиан наблюдателя совпадает с основным меридианом сетки. Полюсы мира находятся на основном меридиане в точках ( 90 ∘ − ϕ ) {displaystyle (90^{circ }-phi )} и ( − 90 ∘ + ϕ ) {displaystyle (-90^{circ }+phi )} соответственно. Точка севера (N) отображается на правый конец экватора, точка юга (S) - на левый, точки востока и запада - в центр сетки. В этом случае вдоль основного меридиана сетки (от точки юга) отсчитываются высоты светил над горизонтом; вдоль экватора сетки (от точки севера) - истинные пеленги светил.

Поворотом кальки вокруг центра сетки на соответствующий угол производится преобразование координат светила из горизонтальной в экваториальную систему координат и обратно.

Способ построения сетки Вульфа

Воспользуемся тем свойством стереографической экваториальной проекции, что меридианы и параллели сетки Вульфа являются дугами окружностей.

Начертите окружность радиуса R {displaystyle R} с центром в точке C {displaystyle C} , постройте два взаимно-перпендикулярных диаметра P 1 − P 2 {displaystyle P_{1}-P_{2}} и Q 1 − Q 2 {displaystyle Q_{1}-Q_{2}} . Положительные значения угла ϕ {displaystyle phi } отсчитываются по часовой стрелке от точки Q 2 {displaystyle Q_{2}} . Выбрав желаемый шаг координатной сетки - найдите на окружности P 1 Q 2 P 2 Q 1 {displaystyle P_{1}Q_{2}P_{2}Q_{1}} вспомогательную точку A ϕ {displaystyle A_{phi }} , отмеряющую на окружности дугу Q 2 − A ϕ {displaystyle Q_{2}-A_{phi }} , кратную выбранному шагу по углу ϕ {displaystyle phi } . Найдите на луче C − P 2 {displaystyle C-P_{2}} вспомогательную точку O ϕ {displaystyle O_{phi }} , лежащую на расстоянии r ϕ = R tan ⁡ ϕ {displaystyle r_{phi }={frac {R}{ an phi }}} от точки A ϕ {displaystyle A_{phi }} . Взяв точку O ϕ {displaystyle O_{phi }} в качестве центра, прочертите от точки A ϕ {displaystyle A_{phi }} дугу радиусом r ϕ {displaystyle r_{phi }} внутри окружности; параллель широты ϕ {displaystyle phi } построена. Параллели второй половины сетки строятся таким же образом, но углы ϕ {displaystyle phi } отсчитываются от точки Q 1 {displaystyle Q_{1}} и вспомогательные точки располагаются на луче C − P 1 {displaystyle C-P_{1}} .

Для построения меридианов сетки с выбранным шагом, вычисляйте положение вспомогательной точки O λ {displaystyle O_{lambda }} , находящейся на луче C − Q 2 {displaystyle C-Q_{2}} на расстоянии r λ = R sin ⁡ λ {displaystyle r_{lambda }={frac {R}{sin lambda }}} от какого-либо полюса. Взяв точку O λ {displaystyle O_{lambda }} в качестве центра, прочертите между полюсами P 1 {displaystyle P_{1}} и P 2 {displaystyle P_{2}} дугу радиусом r λ {displaystyle r_{lambda }} ; меридиан долготы λ {displaystyle lambda } построен. Меридианы второй половины сетки строятся таким же образом, но вспомогательные точки располагаются на луче C − Q 1 {displaystyle C-Q_{1}} .