Уравнение Баркера

Уравнение Баркера — уравнение, в неявном виде, определяющее зависимость между положением небесного тела (истинной аномалией) и временем, при движении по параболической орбите. Данное уравнение широко применялось при изучении орбит комет, орбиты которых имеют эксцентриситет близкий к единице. В настоящее время это уравнение находит применение в астродинамике

Задача, приводящая к уравнению Баркера

Решение задачи двух тел дает уравнение траектории в полярных координатах в виде

r = p 1 + e cos ⁡ ϑ {displaystyle r={frac {p}{1+e,cos vartheta }}}

где p {displaystyle p} — параметр орбиты; e {displaystyle e} — эксцентриситет орбиты; ϑ {displaystyle vartheta } — истинная аномалия — угол между радиус-вектором текущего положения тела и направлением на перицентр. С другой стороны, справедлив второй закон Кеплера

r 2 d ϑ d t = c {displaystyle r^{2},{frac {dvartheta }{dt}}=c}

где c {displaystyle c} — константа площадей. Исходя из этих уравнений легко получить интеграл, связывающий время и истинную аномалию в точках A 0 {displaystyle A_{0}} и A 1 {displaystyle A_{1}} орбиты.

t 1 − t 0 = p 2 c ∫ ϑ 0 ϑ 1 d ϑ ( 1 + e cos ⁡ ϑ ) 2 {displaystyle t_{1}-t_{0}={frac {p^{2}}{c}},int limits _{vartheta _{0}}^{vartheta _{1}}{frac {dvartheta }{left(1+e,cos vartheta ight)^{2}}}}

Способ вычисления данного интеграла зависит от величины эксцентриситета (см. Уравнение Кеплера). Для параболической траектории e = 1 {displaystyle e=1} , в этом случае приходим к тривиальной цепочке преобразований

t 1 − t 0 = p 2 c ∫ ϑ 0 ϑ 1 d ϑ ( 1 + cos ⁡ ϑ ) 2 = p 2 4 c ∫ ϑ 0 ϑ 1 ( 1 + t g 2 ϑ 2 ) 2 d ϑ = | t g ϑ 2 = z , d ϑ = 2 d z 1 + z 2 | = p 2 2 c ∫ t g ϑ 0 2 t g ϑ 1 2 ( 1 + z 2 ) d z = p 2 2 c [ t g ϑ 1 2 − t g ϑ 0 2 + 1 3 ( t g 3 ϑ 1 2 − t g 3 ϑ 0 2 ) ] {displaystyle t_{1}-t_{0}={frac {p^{2}}{c}},int limits _{vartheta _{0}}^{vartheta _{1}}{frac {dvartheta }{left(1+cos vartheta ight)^{2}}}={frac {p^{2}}{4,c}},int limits _{vartheta _{0}}^{vartheta _{1}}left(1+{ m {tg}}^{2}{frac {vartheta }{2}} ight)^{2},dvartheta =left|{ m {tg}}{frac {vartheta }{2}}=z,,dvartheta ={frac {2,dz}{1+z^{2}}} ight|={frac {p^{2}}{2,c}}int limits _{{ m {tg}}{frac {vartheta _{0}}{2}}}^{{ m {tg}}{frac {vartheta _{1}}{2}}}left(1+z^{2} ight),dz={frac {p^{2}}{2,c}}left[{ m {tg}}{frac {vartheta _{1}}{2}}-{ m {tg}}{frac {vartheta _{0}}{2}}+{frac {1}{3}}left({ m {tg}}^{3}{frac {vartheta _{1}}{2}}-{ m {tg}}^{3}{frac {vartheta _{0}}{2}} ight) ight]}

Учитывая, что параметр орбиты связан с константой площадей

p = c 2 μ {displaystyle p={frac {c^{2}}{mu }}}

где μ {displaystyle mu } — гравитационный параметр центрального тела, а константа площадей, в случае параболического движения

c = r π v π = r π 2 μ r π {displaystyle c=r_{pi },v_{pi }=r_{pi },{sqrt {frac {2,mu }{r_{pi }}}}}

где r π {displaystyle r_{pi }} — расстояние до перицентра; v π {displaystyle v_{pi }} — скорость в перицентре, при движении по параболе являющаяся параболической скоростью. Тогда, получаем для параметра орбиты p = 2 r π {displaystyle p=2,r_{pi }} и приходим к окончательному выражению

t 1 − t 0 = r π 2 r π μ [ t g ϑ 1 2 − t g ϑ 0 2 + 1 3 ( t g 3 ϑ 1 2 − t g 3 ϑ 0 2 ) ] {displaystyle t_{1}-t_{0}=r_{pi }{sqrt {frac {2,r_{pi }}{mu }}}left[{ m {tg}}{frac {vartheta _{1}}{2}}-{ m {tg}}{frac {vartheta _{0}}{2}}+{frac {1}{3}}left({ m {tg}}^{3}{frac {vartheta _{1}}{2}}-{ m {tg}}^{3}{frac {vartheta _{0}}{2}} ight) ight]}

Теперь примем, что начальная точка траектории — перицентр, значит ϑ 0 = 0 {displaystyle vartheta _{0}=0} и преобразуем полученную зависимость к виду

n ( t − t 0 ) = t g ϑ 2 + 1 3 t g 3 ϑ 2 {displaystyle n,left(t-t_{0} ight)={ m {tg}}{frac {vartheta }{2}}+{frac {1}{3}}{ m {tg}}^{3}{frac {vartheta }{2}}}

где n = μ 2 r π 3 {displaystyle n={sqrt {frac {mu }{2,r_{pi }^{3}}}}} — среднее движение небесного тела. В итоге, получаем кубическое уравнение вида

S + 1 3 S 3 − M = 0 {displaystyle S+{frac {1}{3}},S^{3}-M=0}

где S = t g ϑ 2 {displaystyle S={ m {tg}}{frac {vartheta }{2}}} , M = n ( t − t 0 ) {displaystyle M=n,left(t-t_{0} ight)} — средняя аномалия орбиты небесного тела. Данное уравнение называют уравнением Баркера.

Это уравнение представляет собой неявную зависимость истинной аномалии от времени ϑ ( t ) {displaystyle vartheta (t)} при движении небесного тела по параболической траектории.

Решение уравнения Баркера

Уравнение

S + S 3 3 − M = 0 {displaystyle S+{frac {S^{3}}{3}}-M=0}

является кубическим уравнением, записанным в канонической форме Кардано и имеет аналитическое решение. Средствами компьютерной алгебры легко получить это решение, содержащее один действительный и два комплексно-сопряженных корня

S 1 = x − 1 x , S 2 , 3 = − x 2 + 1 2 x ± i 3 2 ( x + 1 x ) {displaystyle S_{1}=x-{frac {1}{x}},quad S_{2,3}=-{frac {x}{2}}+{frac {1}{2,x}}pm i,{frac {sqrt {3}}{2}},left(x+{frac {1}{x}} ight)}

где x = 1 2 12 M + 4 9 M 2 + 4 3 {displaystyle x={frac {1}{2}},{sqrt[{3}]{12,M+4,{sqrt {9,M^{2}+4}}}}}

Физическому смыслу данной задачи соответствует только действительный корень, поэтому можно записать

S = t g ϑ 2 = x − 1 x {displaystyle S={ m {tg}}{frac {vartheta }{2}}=x-{frac {1}{x}}}

Имея этот корень, можно вычислить синус и косинус истинной аномалии

cos ⁡ ϑ = 1 − S 2 1 + S 2 , sin ⁡ ϑ = 2 S 1 + S 2 {displaystyle cos vartheta ={frac {1-S^{2}}{1+S^{2}}},quad sin vartheta ={frac {2,S}{1+S^{2}}}quad }

по которым, с учетом их знака, определяется истинная аномалия ϑ ∈ [ 0 , 2 π ) {displaystyle vartheta in [0,,2,pi )}