Теорема Новикова о компактном слое

Теорема Новикова о компактном слое: Двумерное слоение на трехмерном многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Теорема Новикова о компактном слое на сфере S 3 {displaystyle S^{3}}

Теорема: Гладкое двумерное слоение на сфере S 3 {displaystyle S^{3}} имеет компактный слой, диффеоморфный тору T 2 {displaystyle T^{2}} и ограничивающий область D 2 × S 1 {displaystyle D^{2} imes S^{1}} со слоением Риба.

Доказана С. П. Новиковым в 1964 г. До этого Шарль Эресманн высказал гипотезу, что любое гладкое двумерное слоение на S 3 {displaystyle S^{3}} имеет компактный слой, что было справедливо для всех известных тогда примеров. Так, слоение Риба имеет слой, являющийся тором T 2 {displaystyle T^{2}} .

Теорема Новикова о компактном слое на произвольном M 3 {displaystyle M^{3}}

В 1965 году была доказана теорема о компактном слое для произвольного многообразия M 3 {displaystyle M^{3}} :

Теорема: Пусть на замкнутом многообразии M 3 {displaystyle M^{3}} с заданным на нём гладким двумерным слоением F {displaystyle F} выполняется одно из условий:

фундаментальная группа π 1 ( M 3 ) {displaystyle pi _{1}(M^{3})} конечна,

вторая гомотопическая группа π 2 ( M 3 ) ≠ 0 {displaystyle pi _{2}(M^{3}) eq 0} ,

существует замкнутая трансверсаль, гомотопная нулю,

существует слой L ∈ F {displaystyle Lin F} такой, что отображение π 1 ( L ) → π 1 ( M 3 ) {displaystyle pi _{1}(L) o pi _{1}(M^{3})} , индуцированное включением, имеет нетривиальное ядро.

Тогда F {displaystyle F} имеет компактный слой рода g ≤ 1 {displaystyle gleq 1} . Более того, во всех случаях, кроме случая 2, слоение включает рибовскую компоненту, а в случае 2 либо F {displaystyle F} включает рибовскую компоненту, либо все слои замкнуты и диффеоморфны сферам S 2 {displaystyle S^{2}} или проективным плоскостям R P 2 {displaystyle RP^{2}} .

В терминах накрытий эта теорема формулируется следующим образом:

Гладкое двумерное слоение на замкнутом многообразии M 3 {displaystyle M^{3}} с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Обобщение на случай негладкого слоения на M 3 {displaystyle M^{3}}

В 1965 году теорема Новикова была доказана для слоений класса C ∞ {displaystyle C^{infty }} .

В 1970 году было дано доказательство для класса C 2 {displaystyle C^{2}} ,

В 1975 году — для слоений класса C 1 {displaystyle C^{1}} .

Наконец, в 1982 году В. Солодов доказал теорему Новикова для слоений класса C 0 {displaystyle C^{0}} . Этот результат тем более интересен, что ещё в 1974 году П. Швейцер в построил примеры C 0 {displaystyle C^{0}} -слоений на сферах S 2 k + 1 {displaystyle S^{2k+1}} , k > 1 {displaystyle k>1} , не имеющих компактных слоев.

Обобщение теоремы Новикова на сфере S 3 {displaystyle S^{3}} на слоения с особенностями

В 1973 году Вагнер рассмотрел слоения коразмерности 1 с морсовскими особенностями (то есть локально устроенными как множества поверхностей уровня функции Морса) на сфере S 3 {displaystyle S^{3}} . Морсовские особенности бывают «сферическими» и «коническими».

Теорема: Пусть слоение имеет s сферических особенностей и с конических.

• Если s = c {displaystyle s=c} , слоение включает рибовскую компоненту.

• Если s > c {displaystyle s>c} , то s = c + 2 {displaystyle s=c+2} и у такого слоения общего положения все неособые слои диффеоморфны сфере S 2 {displaystyle S^{2}} .

• Если s < c {displaystyle s<c} , слоение может не иметь компактных слоев.