Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




20.05.2022


20.05.2022


20.05.2022


20.05.2022


19.05.2022


19.05.2022





Яндекс.Метрика

Модель Крамера — Лундберга

14.02.2022

Модель Крамера — Лундберга — математическая модель, позволяющая оценивать риски разорения страховой компании. Частный случай модели Спарре — Андерсена, в котором процесс восстановления является пуассоновским. В рамках данной модели предполагается, что страховые взносы поступают равномерно, со скоростью a {displaystyle a} условных денежных единиц за единицу времени, то есть a > 0 {displaystyle a>0} — размер страховой премии. Модель позволяет определить размер страховой премии, необходимой для не разорения компании.

Обозначения

Модель страхования заключается в описании случайного процесса Y t {displaystyle Y_{t}} , характеризующего капитал компании в момент времени t {displaystyle t} .

Модель выглядит так:

Y t = y 0 + a t − ∑ k = 1 N t η k , {displaystyle Y_{t}=y_{0}+at-sum _{k=1}^{N_{t}}eta _{k},} где Y t {displaystyle Y_{t}} — капитал компании в момент времени t {displaystyle t} , y 0 {displaystyle y_{0}} — стартовый капитал, y 0 > 0 {displaystyle y_{0}>0} , a {displaystyle a} – скорость поступления страховых взносов, N t {displaystyle N_{t}} — количество страховых исков от начала до момента времени t {displaystyle t} , η k {displaystyle eta _{k}} — сумма выплат по k {displaystyle k} -му страховому случаю, выплата происходит в момент времени T k {displaystyle T_{k}} .

Cлучайный процесс N t {displaystyle N_{t}} разумно задать как пуассоновский процесс интенсивности λ > 0 {displaystyle lambda >0} . В таком случае модель называется моделью Крамера — Лундберга. Это связано с тем, что страховые случаи не связаны друг с другом, поэтому случайная величина, равная промежутку времени между двумя страховыми случаями, будет иметь экспоненциальное распределение (так как у этого распределения есть свойство "отсутствия памяти"). Чтобы перейти от промежутков между страховыми выплатами к случайному процессу, зависящему от времени t {displaystyle t} , будем рассматривать процесс восстановления:

{ ξ 1 , … , ξ n } {displaystyle {xi _{1},dots ,xi _{n}}} – независимые случайные величины, имеющие распределение E x p ( λ ) {displaystyle mathrm {Exp} (lambda )} (промежутки времени между страховыми случаями), S 0 = 0 , S n = ξ 1 + ⋯ + ξ n {displaystyle S_{0}=0,S_{n}=xi _{1}+dots +xi _{n}} , N t = sup { n : S n ⩽ t } , t ⩾ 0 {displaystyle N_{t}=sup{n:S_{n}leqslant t},tgeqslant 0} .

Этот процесс восстановления есть явная конструкция пуассоновского процесса. Таким образом задание N t {displaystyle N_{t}} обосновано.

Компания считается разорившейся, если Y t ⩽ 0 {displaystyle Y_{t}leqslant 0} . Пусть T = inf { t ⩾ 0 : Y t ⩽ 0 } {displaystyle mathrm {T} =inf{tgeqslant 0:Y_{t}leqslant 0}} — первый момент времени, когда капитал компании становится нулевым или отрицательным. Наша задача найти вероятность разорения: P ( T < ∞ ) {displaystyle mathrm {P} (T<infty )} .

Математические выкладки

1. Из свойств пуассоновского процесса получаем распределение количества выплат для каждого момента времени t {displaystyle t} :

P ( N t = k ) = e − λ t ( λ t ) k k ! {displaystyle mathrm {P} (N_{t}=k)=e^{-lambda t}{dfrac {(lambda t)^{k}}{k!}}} .

2. Предположим что размер выплат η k {displaystyle eta _{k}} — независимые одинаково распределенные случайные величины с E η 1 = μ {displaystyle mathrm {E} eta _{1}=mu } .

E ( X t − X 0 ) = E X t − E X 0 = ( y 0 + a t − E ∑ k η k I ( T k ⩽ t ) ) − ( y 0 + 0 − 0 ) = {displaystyle mathrm {E} (X_{t}-X_{0})=mathrm {E} X_{t}-mathrm {E} X_{0}=(y_{0}+at-mathrm {E} sum _{k}eta _{k}mathbf {I} (T_{k}leqslant t))-(y_{0}+0-0)=} = a t − ∑ k E η k I ( T k ⩽ t ) = {displaystyle =at-sum _{k}mathrm {E} eta _{k}mathbf {I} (T_{k}leqslant t)=} = a t − ∑ k E η k E I ( T k ⩽ t ) = {displaystyle =at-sum _{k}mathrm {E} eta _{k}mathrm {E} mathbf {I} (T_{k}leqslant t)=} = a t − E η k ∑ k E I ( T k ⩽ t ) = {displaystyle =at-mathrm {E} eta _{k}sum _{k}mathrm {E} mathbf {I} (T_{k}leqslant t)=} = a t − μ ∑ k P ( T k ⩽ t ) = {displaystyle =at-mu sum _{k}mathrm {P} (T_{k}leqslant t)=} = a t − μ ∑ k P ( N t ⩾ k ) = {displaystyle =at-mu sum _{k}mathrm {P} (N_{t}geqslant k)=} = a t − μ E N t = t ( a − μ λ ) . {displaystyle =at-mu mathrm {E} N_{t}=t(a-mu lambda ).}

Отсюда получаем условие, состоящее в том, что компания работает с положительной прибылью (то есть E ( X t − X 0 ) > 0 {displaystyle mathrm {E} (X_{t}-X_{0})>0} ):

a > μ λ {displaystyle a>mu lambda } .

Смысл этого выражения такой: для положительной прибыли страховой взнос должен быть больше, чем средняя выплата в случае страхового случая, умноженная на величину, обратную среднему времени между двумя страховыми случаями.

Выводы модели

С помощью статистических или иных методов, страховая компания должна вычислить средний размер одной страховой выплаты, а также вероятность наступления страхового случая. Размер страховой премии должен быть установлен на уровне не меньшем, чем произведение λ {displaystyle lambda } (вероятность предъявления страхового иска за единицу времени) и средней стоимости страхового иска μ {displaystyle mu } . В таком случае, вероятность того, что страховая компания не разорится будет ненулевая.