Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




09.08.2022


08.08.2022


05.08.2022


05.08.2022


03.08.2022


02.08.2022





Яндекс.Метрика

Теория Купмана — фон Неймана

22.07.2022

Теорией Купмана — фон Неймана (KvN-теорией) в математической физике называется оригинальная переформулировка классической статистической механики, созданная американскими математиками Джоном фон Нейманом и Бернардом Купманом. Формализм механики Купмана — фон Неймана максимально приближен к формализму нерелятивистской квантовой механики: состояние динамической системы в ней описывается при помощи классической волновой функции, являющейся аналогом квантовомеханической волновой функции, классическое уравнение Лиувилля приобретает математическую структуру уравнения Шрёдингера и т. д.

Идеологически KvN-теория диаметрально противоположна представлению Вигнера, в котором сходная идея унификации математического аппарата классической статистической и квантовой физики достигается, наоборот, путём преобразования волновой функции, которая появляется в уравнении Шрёдингера, в функцию Вигнера, определённую в классическом фазовом пространстве. Знаменательно, что обе эти теории были созданы практически одновременно — в 1931—1932 годах.

История создания

Истоки KvN-теории тесно вплетены в историю возникновения эргодической теории как самостоятельного раздела математики. К началу 1931 года серьёзной проблемой теоретической физики оставалось отсутствие приемлемого математического обоснования эргодической гипотезы, сформулированной Л. Больцманом ещё в 1887 году. Это, в частности, мешало последовательно вывести законы термодинамики газов, взяв за исходный пункт микроскопическую картину движения большого ансамбля молекул, происходящего в соответствии с законам ньютоновской механики.

Прямой предпосылкой к решению проблемы может считаться работа 1930 года американского математика Маршалла Стоуна по спектральной теории однопараметрических групп унитарных операторов. Уже в следующем году была опубликована ключевая работа Купмана, который заметил, что фазовое пространство классической системы, эволюционирующей в соответствии со стандартными законами классической механики, может быть преобразовано в гильбертово пространство путём постулирования естественного правила интегрирования по точкам фазового пространства в качестве определения скалярного произведения. Замечательно, что эволюция физических переменных при этом начинает описываться унитарными операторами, образующими однопараметрическую группу, для которой справедливы результаты Стоуна.

Такое операторное представление классической механики было в то время совершенно новой идеей; оно побудило фон Неймана, одного из основателей квантовой механики и ведущего эксперта в теории операторов, попробовать применить теоретико-операторный подход к решению эргодической проблемы. Опираясь на результаты Купмана и А. Вейля, он завершил создание операторного формализма классической механики, ныне известного как теория Купмана — фон Неймана, и уже в 1932 году опубликовал серию работ, которые стали основополагающими для современной эргодической теории (в данных работах была, в частности, доказана знаменитая статистическая эргодическая теорема). Любопытно, что в этом же году фон Нейман опубликовал также книгу «Mathematical Foundations of Quantum Mechanics», содержавшую первое полное, строгое и систематическое изложение квантовой механики на современном языке гильбертовых пространств.

Основные положения и свойства

Отправной точкой KvN-теории является введение гильбертова пространства комплекснозначных и квадратично интегрируемых функций Ψ ( t , p , q ) {displaystyle Psi (t,p,q)} координат q {displaystyle q} и импульсов p {displaystyle p} , оснащённого следующим скалярным произведением:

где звёздочка означает комплексное сопряжение (для достижения наиболее наглядной аналогии с квантовой механикой здесь и далее для обозначения элементов гильбертова пространства будет применяться алгебраический формализм Дирака). Квадрат модуля таких функций постулируется равным классической плотности вероятности ρ ( p , q , t ) {displaystyle ho (p,q,t)} нахождения частицы в заданной точке ( p , q ) {displaystyle (p,q)} фазового пространства в момент времени t {displaystyle t} :

Из данного постулата и определения (1) помимо условия нормировки ⟨ Ψ ( t ) | Ψ ( t ) ⟩ = 1 {displaystyle langle Psi (t)|Psi (t) angle =1} следует, что среднее значение ⟨ X ⟩ {displaystyle langle X angle } произвольной физической величины X {displaystyle X} , заданной действительной функцией X ( p , q ) {displaystyle X(p,q)} может быть найдено по формуле

которая формально совпадает с аналогичным выражением Шрёдингеровской квантовой механики (смысл крышечки над X {displaystyle X} будет раскрыт ниже). Это делает правомерным присвоить функции Ψ ( t , p , q ) {displaystyle Psi (t,p,q)} название классической волновой функции.

Центральным утверждением теории является постулат о том, что закон эволюции классической волновой функции по форме должен в точности совпадать с уравнением Лиувилля i ∂ ∂ t ρ = L ^ ρ {displaystyle i{frac {partial }{partial t}} ho ={hat {L}} ho } для классического распределения плотности вероятности ρ ( t , p , q ) {displaystyle ho (t,p,q)} в фазовом пространстве:

где

есть классический оператор Лиувилля. Из данного постулата с учетом свойств (2) и (3) классической волновой функции можно получить для неё наиболее общее выражение:

в котором фаза ϕ ( t , p , q ) {displaystyle phi (t,p,q)} является произвольной действительной функцией своих аргументов.

Важной особенностью теории Купмана — фон Неймана является то, что выражения (5) и (6) являются лишь одним из множества возможных эквивалентных представлений динамических уравнений. Наиболее общая современная форма генератора движения (5) имеет следующий вид:

где x ^ , p ^ , λ ^ x , λ ^ p {displaystyle {hat {x}},{hat {p}},{hat {lambda }}_{x},{hat {lambda }}_{p}} являются самосопряжёнными операторами, удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:

в которых скобками [ ⋅ , ⋅ ] {displaystyle [cdot ,cdot ]} обозначен коммутатор операторов. Соотношения (8) представляют собой классический аналог канонических коммутационных соотношений квантовой механики. Легко проверить, что выражение (5) получается из (8) при выборе x ^ = x {displaystyle {hat {x}}=x} , p ^ = p {displaystyle {hat {p}}=p} , λ ^ x = − i ∂ ∂ x {displaystyle {hat {lambda }}_{x}=-i{frac {partial }{partial x}}} , λ ^ p = − i ∂ ∂ p {displaystyle {hat {lambda }}_{p}=-i{frac {partial }{partial p}}} . Однако, как и в квантовой механике, выбор специфической алгебраической формы данных операторов несущественен и определяется лишь соображениями удобства.

Аналогичным образом, любой физической величине X ( p , q ) {displaystyle X(p,q)} ставится в соответствие эрмитов оператор классической наблюдаемой X ^ = X ( p ^ , q ^ ) {displaystyle {hat {X}}=X({hat {p}},{hat {q}})} , получаемый путём подстановки операторов вместо соответствующих аргументов. Поучительно, что в отличие от квантовой механики, такая подстановка однозначна благодаря тому, что классические операторы x ^ {displaystyle {hat {x}}} и p ^ {displaystyle {hat {p}}} коммутируют. По этой же причине KvN-операторы всех физических величин коммутируют между собой.

Генератор движения (7) также представляет собой эрмитов оператор, а следовательно, временная динамика, описываемая уравнением (4) описывается некоторым унитарным преобразованием U t {displaystyle U_{t}} классической волновой функции: | Ψ ( t ) ⟩ = U t | Ψ ( 0 ) ⟩ {displaystyle |Psi (t) angle =U_{t}|Psi (0) angle } , причём отображение t ↦ U t {displaystyle tmapsto U_{t}} представляет собой однопараметрическую группу. В этом смысле уравнение (4) структурно полностью эквивалентно уравнению Шрёдингера. Именно это наблюдение, сделанное Купманом, и послужило стимулом для развития KvN-теории.

В наши дни возможность вышеизложенной абстрактной операторной формы записи уравнений классической динамики может показаться достаточно очевидной, однако в начале 1930-x годов эта идея была совершенно новой и революционной. Она открывала неожиданные перспективы прямого подключения квантовомеханического математического аппарата, в частности, теории представлений к анализу классических систем, чем и не преминул воспользоваться фон Нейман для доказательства своей эргодической теоремы. В качестве примеров более современных заимствований можно указать методы теории возмущений и функционального интегрирования, фейнмановскую диаграммную технику.

Соотнесение с квантовой механикой

Несмотря на множество формальных сходств со Шрёдингеровской квантовой механикой, KvN-теория имеет с ней существенные различия. Прямая проверка показывает, что эволюция классической волновой функции (6) по закону (4) распадается на два независимых уравнения для фазы ϕ ( t , p , q ) {displaystyle phi (t,p,q)} и предэкспоненциального множителя. Таким образом, фазовый множитель ϕ ( t , p , q ) {displaystyle phi (t,p,q)} в KvN-теории выступает в качестве произвольного свободного параметра, который никак не влияет на динамику классических наблюдаемых. Этим классическая волновая функция качественно отличается от квантовой, где аналогичный фазовый множитель несёт важную информацию о квантовой когерентности, которая и является источником всех специфически квантовых эффектов. По той же причине неселективное измерение не приводит к изменению классической волновой функции.

Еще одним фундаментальным отличием KvN-механики является обособленное место генератора движения (7) — классического лиувиллиана. Оператор (7) — единственный оператор теории, не соответствующий никакой физической величине и не коммутирующий с операторами физических величин (которые, напомним, все коммутируют между собой вследствие соотношений (8)). По этой причине в KvN-теории для введения генератора движения требуется расширение алгебры операторов физических величин введением специальных вспомогательных «дифференциальных» операторов λ x {displaystyle lambda _{x}} and λ p {displaystyle lambda _{p}} . Квантовомеханический случай значительно проще. Квантовый гамильтониан, представляющий генератор движения в уравнении Шрёдингера, одновременно является квантовомеханическим оператором энергии системы и при необходимости может быть выражен через операторы других наблюдаемых, то есть его не нужно искусственно вводить в алгебру квантовых операторов извне. Как знать, не в этом ли различии скрывается фундаментальная философская причина, побудившая Природу «предпочесть» квантовую механику?

Интересным и не до конца изученным остается вопрос, является ли модель Купмана — фон Неймана классическим пределом какого-либо квантового представления. Ответ, причём достаточно неожиданный, имеется только для случая, когда квантовым «контрагентом» классической волновой функции является чистое квантовое состояние. Можно показать, что правильный KvN-генератор движения в форме (7) получается как классический предел ℏ → 0 {displaystyle hbar o 0} в соответствующем генераторе движения для функции Вигнера P ( p , q ) {displaystyle P(p,q)} . Пикантность ситуации заключается в том, что функция Вигнера и соответствующий ей генератор движения определены не в гильбертовом, а классическом фазовом пространстве, воплощая идею перевода описания квантовомеханических процессов на язык классической механики, по сути диаметрально противоположную концепции KvN-теории. Укрощения борьбы противоположностей можно добиться, введя в классическом фазовом пространстве скалярное произведение в форме (1) и постулировав взамен стандартной формулы для вычисления средних

правило (3) (с подстановкой функции P ( p , q ) {displaystyle P(p,q)} вместо Ψ ( p , q ) {displaystyle Psi (p,q)} ). Доказано, что такое модифицированное представление Вигнера физически корректно для чистых квантовых состояний (т. е. результаты вычисления по формулам (3) и (9) совпадают) и переходит в уравнения механики Купмана — фон Неймана в классическом пределе ℏ → 0 {displaystyle hbar o 0} . Замечательно, что при этом радикальным образом снимается проблема отрицательности «функции квазивероятностного распределения Вигнера», поскольку в новой интерпретации вероятностное распределение не совпадает с функцией P ( p , q ) {displaystyle P(p,q)} , а вычисляется по формуле (2) и всегда положительно. Однако, существенной слабой стороной изложенной схемы является невозможность её распространения на случай смешанных квантовых состояний.

Значение

За годы своего существования теория Купмана — фон Неймана, в отличие от достаточно широко используемого представления Вигнера, не сумела найти прямого практического применения, и поэтому её упоминание в научной литературе в основном можно встретить на страницах изданий, предназначенных для узкого круга специалистов по математической физике. По причине сравнительно низкой известности теории её историческое значение и методологический потенциал остаются малоисследованными.

В современных работах KvN-теория иногда применяется в качестве конструктивного инструмента, например, для развития фейнмановской диаграммной техники в классической теории возмущений. Однако основная её ниша в современной науке заключается в реинтерпретации результатов, полученных другими методами с целью прояснения их физического смысла, обобщения и систематизации. Главным образом, это относится к квазиклассическим случаям, для которых теория является удобным дополнительным инструментом изучения соответствия между классическим и квантовым пределами.