Замыкание — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.
Замыкание множества S {displaystyle S} обычно обозначается S ¯ . {displaystyle {ar {S}}.} Другие обозначения: cl ( S ) , Cl ( S ) . {displaystyle operatorname {cl} (S),operatorname {Cl} (S).}
Определения
Следующие два определения равносильны.
Как наименьшее замкнутое множество
Пусть S {displaystyle S} есть подмножество топологического пространства X . {displaystyle X.} Замыканием S {displaystyle S} в X {displaystyle X} называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих S . {displaystyle S.}
Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.
Через точки прикосновения
Точка x {displaystyle x} топологического пространства X {displaystyle X} называется точкой прикосновения множества S , {displaystyle S,} если любая окрестность x {displaystyle x} содержит хотя бы одну точку множества S . {displaystyle S.}
Множество всех точек прикосновения S {displaystyle S} называется замыканием S . {displaystyle S.}
Свойства
Примеры
Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая R {displaystyle mathbb {R} } с заданной на ней стандартной топологией.
- ( a , b ) ¯ = [ a , b ] ; {displaystyle {overline {(a,;b)}}=[a,;b];}
- Q ¯ = R , {displaystyle {ar {mathbb {Q} }}=mathbb {R} ,} где Q {displaystyle mathbb {Q} } — множество рациональных чисел.