Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер



















Яндекс.Метрика

Теорема Планшереля

Теорема Планшереля — утверждение о свойствах преобразования Фурье. Она утверждает, что для всякой функции, квадрат модуля которой интегрируем, существует и однозначно определена с точностью до значений на множестве меры нуль функция, являющаяся её преобразованием Фурье. Была доказана Планшерелем в 1910 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

Формулировка

Для всякой функции действительного переменного f ( x ) {displaystyle f(x)} принадлежащей множеству функций, чей квадрат модуля интегрируем L 2 {displaystyle L^{2}} на интервале ( − ∞ , ∞ ) {displaystyle left(-infty ,infty ight)} существует такая функция действительного переменного g ( x ) {displaystyle g(x)} , также принадлежащая L 2 {displaystyle L^{2}} на интервале ( − ∞ , ∞ ) {displaystyle left(-infty ,infty ight)} , что

lim A → ∞ ∫ − ∞ ∞ | g ( u ) − ( 2 π ) − 1 2 ∫ − A A f ( x ) e i u x d x | 2 d u = 0 {displaystyle lim _{A o infty }int _{-infty }^{infty }left|g(u)-(2pi )^{-{frac {1}{2}}}int _{-A}^{A}f(x)e^{iux}dx ight|^{2}du=0} .

Также выполняются равенства:

∫ − ∞ ∞ | g ( u ) | 2 d u = ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 d x {displaystyle int _{-infty }^{infty }left|g(u) ight|^{2}du=int _{-infty }^{infty }left|f(x) ight|^{2}dx}

и

lim A → ∞ ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) − ( 2 π ) − 1 2 ∫ − A A g ( u ) e − i u x d u | 2 d x = 0 {displaystyle lim _{A o infty }int _{-infty }^{infty }left|f(x)-(2pi )^{-{frac {1}{2}}}int _{-A}^{A}g(u)e^{-iux}du ight|^{2}dx=0} .

Функция g ( u ) {displaystyle g(u)} , являющаяся преобразованием Фурье функции f ( x ) {displaystyle f(x)} однозначно определена с точностью до её значений на множестве меры нуль .