Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




30.11.2022


29.11.2022


28.11.2022


21.11.2022


20.11.2022


19.11.2022





Яндекс.Метрика

Абсолютная группа Галуа

05.09.2022

Абсолютная группа Галуа G K {displaystyle G_{K}} поля K {displaystyle K} — группа Галуа K s e p {displaystyle K^{sep}} над K {displaystyle K} , где K s e p {displaystyle K^{sep}} — сепарабельное замыкание K {displaystyle K} . Также определяется как группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля K {displaystyle K} , которые оставляют K {displaystyle K} неподвижным. Абсолютная группа Галуа уникальна с точностью до изоморфизма. Является проконечной группой.

(Если K {displaystyle K} — совершенное поле, K s e p {displaystyle K^{sep}} совпадает с алгебраическим замыканием K a l g {displaystyle K^{alg}} поля K {displaystyle K} . Например, это верно для полей характеристики 0 и конечных полей.)

Примеры

  • Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
  • Абсолютная группа Галуа действительных чисел — циклическая группа, состоящая из двух элементов (комплексного сопряжения и тождественного отображения), так как C {displaystyle mathbb {C} } — сепарабельное замыкание R {displaystyle mathbb {R} } и [ C : R ] = 2 {displaystyle [mathbb {C} :mathbb {R} ]=2} .
  • Абсолютная группа Галуа конечного поля K {displaystyle K} изоморфна группе Z ^ = lim ← ⁡ Z / n Z . {displaystyle {hat {mathbb {Z} }}=varprojlim mathbb {Z} /nmathbb {Z} .} Здесь lim ← {displaystyle varprojlim } — проективный предел.
Автоморфизм Фробениуса F r {displaystyle Fr} — канонический (топологический) генератор G K {displaystyle G_{K}} ( F r ( x ) = x q {displaystyle Fr(x)=x^{q}} , где q {displaystyle q} — число элементов в K {displaystyle K} ).
  • Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами является свободной проконечной группой.
  • В более общем случае, пусть C {displaystyle C} — алгебраически замкнутое поле и x {displaystyle x} — переменная. Тогда абсолютная группа Галуа поля K = C ( x ) {displaystyle K=C(x)} — свободная группа ранга равного мощности C {displaystyle C} .
  • Пусть K {displaystyle K} — конечное расширение p-адических чисел Q p {displaystyle Q_{p}} . Для p ≠ 2 {displaystyle p eq 2} , его абсолютная группа Галуа порождается [ K : Q p ] + 3 {displaystyle [K:Q_{p}]+3} элементами и имеет явное описание в терминах образующих и соотношений.
  • Абсолютная группа Галуа определена для наибольшего чисто вещественного подполя поля алгебраических чисел.

Открытые проблемы

  • Неизвестно явное описание абсолютной группы Галуа рациональных чисел. В этом случае из теоремы Белого следует, что абсолютная группа Галуа имеет эффективное действие на dessins d’enfants Гротендика, что позволяет представить в наглядном виде теорию Галуа полей алгебраических чисел.
  • Гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа максимального абелева расширения рациональных чисел — свободная проконечная группа.