Числовая последовательность

Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин варианта, принадлежащий Ш. Мерэ) — это последовательность чисел.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть X {displaystyle X} — это либо множество вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } , либо множество комплексных чисел C {displaystyle mathbb {C} } . Тогда последовательность ( x n ) n = 1 ∞ {displaystyle (x_{n})_{n=1}^{infty }} элементов множества X {displaystyle X} называется числовой последовательностью.

Примеры

Функция ( ( − 1 ) n ) n = 1 ∞ {displaystyle left((-1)^{n} ight)_{n=1}^{infty }} является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨ − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , … ⟩ {displaystyle langle -1,1,-1,1,-1,ldots angle } .
Функция ( 1 / n ) n = 1 ∞ {displaystyle (1/n)_{n=1}^{infty }} является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨ 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , 1 / 5 , … ⟩ {displaystyle langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,ldots angle } .
Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу n ⩽ 12 {displaystyle nleqslant 12} одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида ( x n ) n = 1 12 {displaystyle (x_{n})_{n=1}^{12}} . Например, пятым элементом x 5 {displaystyle x_{5}} этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X {displaystyle X} можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X {displaystyle X} . Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей ( x n ) {displaystyle (x_{n})} и ( y n ) {displaystyle (y_{n})} называется числовая последовательность ( z n ) {displaystyle (z_{n})} такая, что z n = x n + y n {displaystyle z_{n}=x_{n}+y_{n}}

Разностью числовых последовательностей ( x n ) {displaystyle (x_{n})} и ( y n ) {displaystyle (y_{n})} называется числовая последовательность ( z n ) {displaystyle (z_{n})} такая, что z n = x n − y n {displaystyle z_{n}=x_{n}-y_{n}} .

Произведением числовых последовательностей x n {displaystyle x_{n}} и y n {displaystyle y_{n}} называется числовая последовательность ( z n ) {displaystyle (z_{n})} такая, что z n = x n ⋅ y n {displaystyle z_{n}=x_{n}cdot y_{n}} .

Частным числовой последовательности x n {displaystyle x_{n}} и числовой последовательности y n {displaystyle y_{n}} , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность z n = ( x n y n ) n = 1 ∞ {displaystyle z_{n}=left({frac {x_{n}}{y_{n}}} ight)_{n=1}^{infty }} . Если в последовательности y n {displaystyle y_{n}} на позиции k ≠ 1 {displaystyle k eq 1} всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность z n = ( x n y n ) n = 1 k − 1 {displaystyle z_{n}=left({frac {x_{n}}{y_{n}}} ight)_{n=1}^{k-1}} .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности ( x n ) {displaystyle (x_{n})} — это последовательность ( x n k ) {displaystyle (x_{n_{k}})} , где ( n k ) {displaystyle (n_{k})} — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
Для всякой подпоследовательности ( x k n ) {displaystyle (x_{k_{n}})} верно, что ∀ n ∈ N : k n ⩾ n {displaystyle forall nin mathbb {N} colon k_{n}geqslant n} .
Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны. ( x n ) {displaystyle (x_{n})} стационарная ⇔ ( ∃ N ∈ N ∀ i , j ∈ N : ( i ⩾ N ) ∧ ( j ⩾ N ) ⇒ ( x i = x j ) ) {displaystyle Leftrightarrow left(exists Nin mathbb {N} ~forall i,jin mathbb {N} colon left(igeqslant N ight)land left(jgeqslant N ight)Rightarrow left(x_{i}=x_{j} ight) ight)} .

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества X {displaystyle X} элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X {displaystyle X} , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности. ( x n ) {displaystyle (x_{n})} ограниченная сверху ⇔ ∃ M ∈ X ∀ n ∈ N : x n ⩽ M {displaystyle Leftrightarrow exists Min X~forall nin mathbb {N} colon x_{n}leqslant M} .
Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X {displaystyle X} , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности. ( x n ) {displaystyle (x_{n})} ограниченная снизу ⇔ ∃ m ∈ X ∀ n ∈ N : x n ⩾ m {displaystyle Leftrightarrow exists min X~forall nin mathbb {N} colon x_{n}geqslant m} .
Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу. ( x n ) {displaystyle (x_{n})} ограниченная ⇔ ∃ m , M ∈ X ∀ n ∈ N : m ⩽ x n ⩽ M {displaystyle Leftrightarrow exists m,Min X~forall nin mathbb {N} colon mleqslant x_{n}leqslant M} .
Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной. ( x n ) {displaystyle (x_{n})} неограниченная ⇔ ∀ m , M ∈ X ∃ n ∈ N : ( x n < m ) ∨ ( x n > M ) {displaystyle Leftrightarrow forall m,Min X~exists nin mathbb {N} colon left(x_{n}<m ight)lor left(x_{n}>M ight)} .

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

( x n ) {displaystyle (x_{n})} ограниченная ⇔ ∃ A ∈ R ∀ n ∈ N : | x n | ⩽ A {displaystyle Leftrightarrow exists Ain mathbb {R} ~forall nin mathbb {N} colon |x_{n}|leqslant A} .

Свойства ограниченных последовательностей

Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
Для любого наперёд взятого положительного числа ε {displaystyle varepsilon } все элементы ограниченной числовой последовательности ( x n ) n = 1 ∞ {displaystyle left(x_{n} ight)_{n=1}^{infty }} , начиная с некоторого номера, зависящего от ε {displaystyle varepsilon } , лежат внутри интервала ( lim _ n → ∞ ⁡ x n − ε , lim ¯ n → ∞ ⁡ x n + ε ) {displaystyle left(varliminf _{n o infty }x_{n}-varepsilon ,varlimsup _{n o infty }x_{n}+varepsilon ight)} .
Если за пределами интервала ( a , b ) {displaystyle left(a,b ight)} лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности ( x n ) n = 1 ∞ {displaystyle left(x_{n} ight)_{n=1}^{infty }} , то интервал ( lim _ n → ∞ ⁡ x n , lim ¯ n → ∞ ⁡ x n ) {displaystyle left(varliminf _{n o infty }x_{n},varlimsup _{n o infty }x_{n} ight)} содержится в интервале ( a , b ) {displaystyle left(a,b ight)} .
Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
Если ( x n ) {displaystyle (x_{n})} — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность ( 1 / x n ) {displaystyle (1/x_{n})} , которая является бесконечно малой. Если же ( x n ) {displaystyle (x_{n})} всё же содержит нулевые элементы, то последовательность ( 1 / x n ) {displaystyle (1/x_{n})} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n {displaystyle n} , и всё равно будет бесконечно малой.
Если ( α n ) {displaystyle (alpha _{n})} — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность ( 1 / α n ) {displaystyle (1/alpha _{n})} , которая является бесконечно большой. Если же ( α n ) {displaystyle (alpha _{n})} всё же содержит нулевые элементы, то последовательность ( 1 / α n ) {displaystyle (1/alpha _{n})} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n {displaystyle n} , и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X {displaystyle X} , имеющая предел в этом множестве.
Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
Если последовательность ( x n ) {displaystyle (x_{n})} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность ( 1 / x n ) {displaystyle (1/x_{n})} , которая является ограниченной.
Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают члены другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
Любую сходящуюся последовательность ( x n ) {displaystyle (x_{n})} можно представить в виде ( x n ) = ( a + α n ) {displaystyle (x_{n})=(a+alpha _{n})} , где a {displaystyle a} — предел последовательности ( x n ) {displaystyle (x_{n})} , а α n {displaystyle alpha _{n}} — некоторая бесконечно малая последовательность.
Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.