ГлавнаяСвязность Леви-Чивиты (или связность, ассоциированная с метрикой) — одна из основных структур на римановом многообразии. Даёт естественный способ дифференцировать векторные поля на римановом многообразии; эквивалентно заданию ковариантного дифференцирования, а также параллельного перенесения вдоль кривых. Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.
Определение
Связность Леви-Чивиты есть аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии M {displaystyle M} , относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.
То есть аффинная связность ∇ {displaystyle abla } на римановом многообразии ( M , g ) {displaystyle (M,;g)} называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:
X ( g ( Y , Z ) ) = g ( ∇ X Y , Z ) + g ( Y , ∇ X Z ) {displaystyle X(g(Y,;Z))=g( abla _{X}Y,;Z)+g(Y,; abla _{X}Z)} ,
где X ( g ( Y , Z ) ) {displaystyle X(g(Y,;Z))} обозначает производную g ( Y , Z ) {displaystyle g(Y,Z)} в направлении X {displaystyle X} .
∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] = 0 {displaystyle abla _{X}Y- abla _{Y}X-[X,;Y]=0} ,
где [ X , Y ] {displaystyle [X,;Y]} — скобки Ли векторных полей X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} .
Свойства
- Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.